jueves, 22 de noviembre de 2012

Regla de l'Hôpital

Haciendo mi tarea de cálculo, habían unos ejercicios que no tenía ni idea de como resolver, pero gracias al internet (Específicamente a wikipedia), esta regla me salvó la vida, y la comparto en el blog :)


En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
Enunciado
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo  \frac{0}{0} ó  \frac{\infty}{\infty}.
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f'/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,
\lim_{x \to c}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x \to c}{f'(x) \over g'(x)}

Guillaume de l'Hôpital

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, 
una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para 
su demostración. Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
  • Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
{f(x)\over g(x)}={f(x)-f(c) \over g(x)-g(c)}={{f(x)-f(c) \over x-c}\over{g(x)-g(c)\over x-c}}

  • Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
\lim_{x \to c}{f(x) \over g(x)}= {\lim_{x \to c}{f(x)-f(c)\over x-c}\over \lim_{x \to c}{g(x)-g(c) \over x-c}}={f'(c)\over g'(c)}
 Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico
al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, 
por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
Aplicación sencilla
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = \cfrac{0}{0}
\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1
Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x} {x-\operatorname{sen}(x)} =   =\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})-2}{1-\operatorname{cos}(x)} =   =\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\operatorname{sen}(x)} =   =\xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})}{\operatorname{cos}(x)} = \frac{e^0+e^{-0}}{\operatorname{cos}(0)} = \frac{1+1}{1} = 2
Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo \begin{matrix} \frac{0}{0} \end{matrix} mediante transformaciones algebraicas:
Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo \begin{matrix} \frac{\infty}{\infty} \end{matrix} se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:
\lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^4}}
De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo \begin{matrix} \frac{\infty}{\infty} \end{matrix} también se pueden 
resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.
Indeterminaciones no cocientes
A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados
con esta regla.
  • Tipo  \infty - \infty
\begin{align} \lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x} & = \lim_{x \to \infty} \frac{\left(x + \sqrt{x^2 - x}\right)\left(x - \sqrt{x^2 - x}\right)}{x + \sqrt{x^2 - x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}} \\ {} & = \lim_{x \to \infty} \frac{\begin{matrix} \to \infty \\ \overbrace{ x } \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ x + \sqrt{x^2 - x} } \\ \to \infty \end{matrix}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x)'}{(x + \sqrt{x^2 - x})'} \\ {} & = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \end{align}








Fuente: Wipiedia

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